Le théorème de Pythagore
Calculer une longueur dans un triangle rectangle, et surtout comprendre pourquoi ce sont les carrés qui s’ajoutent.
L’idée en une phrase
Dans un triangle rectangle, le carré construit sur le plus grand côté (l’hypoténuse) a la même aire que les deux carrés construits sur les deux autres côtés, réunis.
BC² = AB² + AC²
On additionne des aires, donc des carrés de longueurs. Pas des longueurs. C’est là que presque toutes les erreurs se jouent.
Un raisonnement complet
ABC est rectangle en A. AB = 6 cm, AC = 8 cm. Combien mesure BC ?
- Repérer l’angle droit : il est en A. L’hypoténuse est le côté opposé, BC.BC = ?
- Écrire la relation sur les carrés.BC² = AB² + AC²
- Remplacer et calculer les carrés.BC² = 36 + 64 = 100
- Prendre la racine carrée, à la fin seulement.BC = 10 cm
L’erreur classique
- Modélisation
BC = 14 cm
On a additionné les longueurs. Tentant, parce que « ça s’ajoute ». Mais ce sont les aires des carrés qui s’ajoutent.
- Exécution
BC = 100 cm
La relation est juste, 100 est juste. Mais 100, c’est BC². Il manque la racine carrée.
- Raisonnement
AB² = BC² + AC²
L’hypoténuse a été mal repérée. Elle est toujours en face de l’angle droit, et toujours seule d’un côté de l’égalité.
Deux exercices
DEF est rectangle en E. DE = 5 cm, EF = 12 cm. Calcule DF.Voir la réponse
DF² = DE² + EF² = 25 + 144 = 169, donc DF = 13 cm.
Un triangle a des côtés de 7 cm, 24 cm et 25 cm. Est-il rectangle ?Voir la réponse
25² = 625 et 7² + 24² = 49 + 576 = 625. L’égalité est vraie : d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle, l’angle droit étant opposé au côté de 25 cm.