Reconnaître quand utiliser Thalès

Le théorème de Thalès fait partie de ces outils que l’on connaît par cœur… et que l’on utilise au mauvais moment. Dans une copie, la difficulté n’est presque jamais le calcul : c’est de reconnaître la figure, de vérifier la bonne condition et d’écrire les rapports dans le bon ordre.

L’idée en une phrase

Quand deux droites parallèles coupent deux droites sécantes, elles découpent sur ces droites des longueurs proportionnelles.

Autrement dit, le petit triangle est une réduction du grand : toutes ses longueurs sont multipliées par le même nombre.

Les deux configurations à reconnaître

Dans les deux cas, le décor est le même : deux droites sécantes en un point A$A$, et deux droites parallèles qui les coupent.

Les triangles emboîtés

Les points M$M$ et N$N$ sont sur les segments [AB]$\left[AB\right]$ et [AC]$\left[AC\right]$ : le petit triangle AMN$AMN$ est à l’intérieur du grand triangle ABC$ABC$.

Le papillon

Les points M$M$ et N$N$ sont de l’autre côté de A$A$ : les triangles AMN$AMN$ et ABC$ABC$ sont opposés par le sommet, comme les deux ailes d’un papillon.

La condition à vérifier avant tout

Avant d’écrire la moindre fraction, il faut pouvoir affirmer deux choses :

• les points A$A$, M$M$, B$B$ d’une part, et A$A$, N$N$, C$C$ d’autre part, sont alignés ;
• les droites (MN)$\left(MN\right)$ et (BC)$\left(BC\right)$ sont parallèles, parce que l’énoncé le dit ou parce qu’on l’a démontré.

Alors seulement, le théorème s’applique :

ABAM​=ACAN​=BCMN​$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$

On ne commence pas par les longueurs : on commence par les parallèles.

Un exemple complet

Dans le triangle ABC$ABC$, M$M$ est sur [AB]$\left[AB\right]$ et N$N$ sur [AC]$\left[AC\right]$, avec (MN)∥(BC)$\left(MN\right)\parallel \left(BC\right)$. On sait que AM=3$AM=3$ cm, AB=5$AB=5$ cm, AN=4,2$AN=4.2$ cm et MN=2,4$MN=2.4$ cm. Calculer AC$AC$ et BC$BC$.

1. Les points A$A$, M$M$, B$B$ et A$A$, N$N$, C$C$ sont alignés, et (MN)∥(BC)$\left(MN\right)\parallel \left(BC\right)$ : on peut appliquer le théorème de Thalès.
2. On écrit les rapports en partant de A$A$ : 53​=AC4,2​=BC2,4​$\frac{3}{5}=\frac{4.2}{AC}=\frac{2.4}{BC}$.
3. Produit en croix : AC=35×4,2​=7$AC=\frac{5\times 4.2}{3}=7$ cm.
4. De même : BC=35×2,4​=4$BC=\frac{5\times 2.4}{3}=4$ cm.

Le bon réflexe : chaque rapport part du point d’intersection A$A$. En haut, une longueur du petit triangle ; en bas, la longueur correspondante du grand, toujours dans le même ordre.

Thalès ou sa réciproque ?

Le théorème de Thalès sert à calculer une longueur quand on sait que deux droites sont parallèles.

Sa réciproque fait l’inverse : elle sert à démontrer que deux droites sont parallèles quand les rapports sont égaux, à condition que les points soient alignés dans le même ordre. Et si les rapports sont différents, la contraposée permet de conclure que les droites ne sont pas parallèles.

Pour choisir, une seule question : que cherche-t-on ? Une longueur : le théorème. Un parallélisme : la réciproque.

Deux exercices, comme dans Coach

Voici deux exercices tels qu’ils se présentent dans Coach, avec une réponse rédigée ligne par ligne dans le champ mathématique.

La checklist avant de calculer

1. Repérer les deux droites sécantes et leur point d’intersection.
2. Vérifier le parallélisme : donné dans l’énoncé, ou démontré.
3. Écrire les trois rapports en partant du point d’intersection, le petit triangle en haut.
4. Garder les deux rapports utiles, puis faire le produit en croix.
5. Conclure, avec l’unité.